Horner-Schema, polinomların hızlı ve etkili bir şekilde değerlendirilmesi ve köklerinin bulunması için kullanılan bir algoritmadır. Bu yöntem, bir polinomu daha az hesaplama gerektiren bir forma dönüştürerek hesaplamaların daha hızlı ve hatasız yapılmasını sağlar.
Horner-Schema, bir polinomu:
????(????)=????(????)*????^????+????(????−1)*????^(????−1) +…+????(1)*???? + + a(0)
şu şekilde yazmayı sağlar:
????(????)=[[[????(????)*???? +????(????-1)]*x +????(????−2)]*x+…+????(1)]*???? +????(0)
Örnek bir polinomumuz olduğunu varsayalım:
????(????)=2*????^3+3*????^2 + 5*???? + 7
Horner formunda bu polinom şu şekilde yazılır:
????(????)=[[2???? + 3]????+5]????+7
Horner-Schemanın faydaları
1. Hızlı Hesaplama: polinomları değerlendirirken daha az çarpma ve toplama işlemi gerektirir. Bu da hesaplamaların daha hızlı yapılmasını sağlar.
2. Numerik Stabilite: özellikle yüksek dereceli polinomlar için, sayısal hataları azaltarak daha doğru sonuçlar elde edilmesine yardımcı olur.
3. Basitlik: polinomları yeniden yazmayı ve kök bulma işlemlerini daha basit hale getirir.
4. Programlamada Kolaylık: bilgisayar programlarında polinomların değerlendirilmesi ve türevlerinin hesaplanması gibi işlemler için kolayca kodlanabilir.
Örnek:
Horner-Schema ile
????(2)'yi hesaplayalım:
2 ile başlıyoruz.
1. 2×2+3=7
2. 7×2+5=19
3. 19×2+7=45
Sonuç olarak, ????(2) =45
Horner-Schema'nın en önemli uygulamaları:
1. Polinom Bölmesi: Bir polinomu lineer bir polinomla verimli bir şekilde bölme.
2. Polinom Tanjantlarının Hesaplanması: Bir polinomun türevini verimli bir şekilde hesaplama.
3. Sayısal Yöntemler (Newton Yöntemi): Doğrusal olmayan denklemlerin çözümü için polinom değerlerinin ve türevlerinin hızlı hesaplanması.
4. Polinomların ve Türevlerinin Değerlendirilmesi: Hem polinomun hem de türevlerinin verimli bir şekilde hesaplanması.
5. Donanım ve Yazılımda Uygulama: Polinom hesaplamalarının bilgisayar grafikleri, sinyal işleme ve kontrol sistemlerinde optimize edilmesi
Horner şemasının kullandığı Temel İlkeler
1. İç İçe Geçirme: Horner şeması, polinom terimlerini iç içe geçirme yoluyla yeniden yazarak hesaplamaları optimize eder. Bu sayede, daha az çarpma ve toplama işlemi gerekir.
2. Tekrar Eden Yapılar Polinomun her bir terimi, bir önceki terimin sonuçları kullanılarak hesaplanır. Bu yöntem, hesaplamaları basitleştirir ve hızlandırır.
İç İçe Geçirme nerelerde bir strateji olarak kullanılır?
1. Hiyerarşik Problemler: Doğal hiyerarşilere veya alt problemlere sahip sorunlar için uygundur.
2. Tekrarlayan Yapılar: Tekrarlayan yapılarda uygulanabilir.
3. Ağaç ve Grafik Yapıları: Ağaç veya grafik kullanan algoritmalarda verimlidir.
4. Özyinelemeli Çözümler: Özyinelemeli yaklaşımlar için idealdir.
İç İçe Geçirme hesaplama karmaşıklığını Azaltır: Daha az işlem adımı gerektirir ve belleği daha iyi kullanılmasını sağlar.
